Pi greco
La costante matematica Π ( si scrive "pi" dove le lettere greche non sono disponibili) č utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono il π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il piů piccolo numero per cui sin(x)=0 oppure il piů piccolo numero che moltiplicato per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.π č conosciuto anche come la constante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad una idea comune, π non č una costante fisica o della natura,quanto piuttosto una costante matematica definita in modo indipendente dalle misure di carattere fisico.
Le prime 64 cifre decimali del π sono (sequenza A000796 del OEIS) :
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...Altre cifre decimali del π si possono trovare in Wikisource links:Wikisource - Pi fino alla cifra 1.000 | alla cifra 10.000 | alla cifra 100.000
| Table of contents |
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2 Formule che riguardano π 3 Storia 4 Approssimazioni numeriche di π 5 Questioni aperte 6 La natura di π 7 Cultura legata al Pi greco 8 Collegamenti esterni |
π č un numero irrazionale, non può cioč essere scritto come quoziente di due interi.
Questo č stato provato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert.
Inoltre, č un numero trascendente, come č stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π č radice. Di conseguenza, č impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.
Questo risultato stabilisce l'impossibilitĂ della quadratura del cerchio, cioč la costruzione, con solo riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.
ProprietĂ
Formule che riguardano π
Analisi:
π ha delle bellissime rappresentazioni come frazioni continue:
(Ă possibile trovare altre 12 rappresentazioni a [1] )
Dynamical Systems / Ergodic theory:
Fisica:
- Principio di indeterminazione di Heisenberg.
- Equazione di campo di Einstein della relativitĂ generale.
- Forza di Coulomb.
- La funzione della densitĂ probabile nella distribuzione normale.
- Buffon's needle
Storia
Il simbolo "π" per la costante di Archimede č stato introdotto nel 1706 da William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benchĂŠ lo stosso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π č la prima lettera di περιμετροσ (perimetros), che significa 'misura attorno' in greco.
Ecco una breve cronologia di π:
- 20° secolo AC: i Babilonesi usavano 25/8 per π
- 20° secolo AC: gli Egizi usano π = (16/9)2
- 12° secolo AC: i Cinesi usano 3 per π
- 434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
- 3° secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < π < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441.
- 20 AC: Vitruvio usa 25/8.
- 2° secolo: Tolomeo usa π = 377/120.
- 3° secolo: Chang Hong usa π = √10, Wang Fau usa π = 142/45, e Liu Hui usa π = 471/150.
- 5° secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < π < 3.1415927.
- 6° secolo: Aryabhatta e Brahmagupta, in India, usano rispettivamente il valore 62832/20000 e √ 10.
- 9° secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416.
- 1220: Fibonacci usa il valore 3.141818.
- 1430: Al Kashi calcola le prime 14 cifre di π.
- 1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di π.
- 1593: François Vieta calcola 9 cifre di π e Dutch Adriaen van Roomen 15 cifre.
- 1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di π.
- 1665: Isaac Newton, 16 cifre.
- 1699: Sharp, 71 cifre.
- 1700: Seki Kowa, 10 cifre.
- 1730: Kamata, 25 cifre.
- 1706: Machin, 100 cifre.
- 1719: De Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette.
- 1723: Takebe, 41 cifre.
- 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde.
- 1739: Matsunaga, 50 cifre.
- 1761: Johann Heinrich Lambert prova che π č un numero irrazionale.
- 1775: Euler ipotizza che π possa essere transcendente.
- 1794: von Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette.
- 1794: Adrien-Marie Legendre dimostra che π2 (e quindi π) č irrazionale, e considera la possibilitĂ che π sia trascendente.
- 1824: Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette.
- 1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre.
- 1847: Thomas Clausen, 248 cifre.
- 1853: Lehmann, 261 cifre.
- 1853: Rutherford, 440 cifre.
- 1855: Richter, 500 cifre.
- 1874: Shanks, 707 cifre, di cui 527 sono corrette.
- 1882: Lindemann dimostra che π č trascendente.
Approssimazioni numeriche di π
A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finiti che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 o 22/7 č sufficente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).
Un scriba egizio di nome Ahmes č l'origine del piů antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di π. Il papiro di Rhind č datato al 17° secolo AC e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.
Il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 D.C. e suggerĂŹ 3,14 come buona approssimazione.
Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi calcolò nel 5° secolo π come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di π: 355/113 e 22/7.
Il matematico ed astronomo iraniano Ghyath ad-din Jamshid Kashani, 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di π, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:
- 2 π = 6,2831853071795865
Il matematico sloveno Jurij Vega nel 1789 calcolò le prime 140 cifre decimali di π, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al 1841, quando William Rutherford calcolò 208 cifre decimale di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula di John Machin nel 1706.
Nessuna delle formule sopraelencate può fornire un'efficiente metodo per l'approssimazione di π. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:
Espansioni decimali molto lunghe di π sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legedre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel 1976
L'elenco del primo milione di cifre di π e di 1/π si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina). Il record attuale (Dicembre 2002) č di 1.241.100.000.000 di cifre, calcolate nel settembre 2002 su un supercomputer Hitachi a 64 nodi con un terabyte di memoria principale, in grado di compiere 2 bilioni di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:
Queste approssimazioni sono cosĂŹ complesse da non essere utili per nessuno scopo pratico, se non per provare nuovi supercomputer.
Nel 1996 David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprĂŹ una nuova formula per calcolare π come serie infinita:
Alcune altre formule usate per calcolare stime di π sono:
Questioni aperte
La piů pressante questione aperta su π riguarda il fatto che sia o meno normale, cioč se la frequenza con cui č presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. Non sappiamo molto su questo.
Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sovramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simimili implica la normalitĂ in base 2 di π. Vedi il sovramenzionato sito web di Bailey per ulteriori informazioni.
Nelle geometrie non-euclidee la somma degli angoli interni di un triangolo può essere maggiore o minore di π e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diamentro può non essere π. Questo non cambia la definizione di π, ma influisce su qualsiasi formula in cui appare π. Quindi, in particolare, π non č legato alla forma dell'universo; č una costante matematica, non fisica.
C'č un intero campo di studi divertenti ma seri che riguardano l'uso di tecniche di memorizzazione per ricordare le cifre di π.
La natura di π
Cultura legata al Pi greco
Collegamenti esterni
